【LOJ#6485】LJJ 学二项式定理(单位根反演)
题面
题解
显然对于\(a0,a1,a2,a3\)分开算答案。
这里以\(a0\)为例\[\begin{aligned} Ans&=\frac{1}{4}a_0\sum_{i=0}^n [4|i]{n\choose i}s^i\\ &=\frac{1}{4}a_0\sum_{i=0}^n{n\choose i}s^i\sum_{j=0}^3 (\omega_4^{j})^i\\ &=\frac{1}{4}a_0\sum_{j=0}^3\sum_{i=0}^n {n\choose i}s^i(\omega_4^j)^i\\ &=\frac{1}{4}a_0\sum_{j=0}^3(s\omega_4^j+1)^n \end{aligned}\] 另外几个只需要把\([4|i]\)变成\([4|(i+k)]\)的形式,然后在计算的时候把\(\omega_4^k\)给提取出来就行了。#include#include using namespace std;#define ll long long#define MOD 998244353inline ll read(){ ll x=0;bool t=false;char ch=getchar(); while((ch<'0'||ch>'9')&&ch!='-')ch=getchar(); if(ch=='-')t=true,ch=getchar(); while(ch<='9'&&ch>='0')x=x*10+ch-48,ch=getchar(); return t?-x:x;}int fpow(int a,ll b){int s=1;while(b){if(b&1)s=1ll*s*a%MOD;a=1ll*a*a%MOD;b>>=1;}return s;}int s,a[4],w,ans;ll n;int main(){ int T=read();w=fpow(3,(MOD-1)/4); while(T--) { n=read();s=read();ans=0; for(int i=0;i<4;++i)a[i]=read(); for(int i=0;i<4;++i) for(int j=0,t=s,ww=1;j<4;++j,t=1ll*t*w%MOD,ww=1ll*ww*w%MOD) ans=(ans+1ll*a[i]*fpow(t+1,n)%MOD*fpow(ww,4-i))%MOD; ans=1ll*ans*fpow(4,MOD-2)%MOD; printf("%d\n",ans); }}